（2013•泉州模拟）定义域为D的函数f（x），其导函数为f′（x）．若对∀x∈D，均有f（x）＜f′（x），则称函数f

解题思路：（Ⅰ）按照梦想函数的定义举反例即可；
（Ⅱ）求出g′（x）=a，由g（x）为（0，π）上为梦想函数，得ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，分离出参数a后转化为函数最值解决；
（Ⅲ）求出h'（x）=cosx+a，由题意得h'（x）＞h（x）在x∈[0，π]恒成立，即ax＜cosx-sinx+1在x∈[0，π]上恒成立．x=0时易判断成立；当0＜x≤π时，可得a＜

cosx−sinx+1

x

对任意x∈（0，π]恒成立．令F(x)＝

cosx−sinx+1

x

，利用导数可求得F（x）的最小值及其范围，从而得到a的范围，进而得到答案；

（Ⅰ）函数f（x）=sinx不是其定义域上的梦想函数．
理由如下：f（x）=sinx的定义域D=R，f'（x）=cosx，
存在x＝
π
3，使f(
π
3)＞f′(
π
3)，
故函数h（x）=sinx不是其定义域D=R上的梦想函数．
（Ⅱ）g（x）=ax+a-1，g'（x）=a，
若函数g（x）=ax+a-1在x∈（0，π）上为梦想函数，
则ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，即a＜
1
x在x∈（0，π）上恒成立，
因为y＝
1
x在x∈（0，π）内的值域为(
1
π，+∞)，
所以a≤
1
π．
（Ⅲ）h'（x）=cosx+a，由题意h'（x）＞h（x）在x∈[0，π]恒成立，
故cosx+a＞sinx+ax+a-1，即ax＜cosx-sinx+1在x∈[0，π]上恒成立．
①当x=0时，a•0＜cos0-sin0+1=2显然成立；
②当0＜x≤π时，由ax＜cosx-sinx+1，可得a＜
cosx−sinx+1
x对任意x∈（0，π]恒成立．
令F(x)＝
cosx−sinx+1
x，则F′(x)＝
(−sinx−cosx)•x−(cosx−sinx+1)
x2，
令k（x）=（-sinx-cosx）•x-（cosx-sinx+1），
则k′(x)＝(sinx−cosx)•x＝
2x•sin(x−
π
4)．
当x∈(0，
π
4]时，因为k'（x）≤0，所以k（x）在(0，
π
4]单调递减；
当x∈(
π
4，π]时，因为k'（x）≥0，所以k（x）在(
π
4，π]单调递增．
∵k（0）=-2＜0，k(
π
4)＝−

2
4π−1＜0，
∴当x∈(0，
π
4]时，k（x）的值均为负数．
∵k(
π
4)＝−

点评：
本题考点： 导数的运算；全称命题．

考点点评： 本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．