赞 雪r 幼苗
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证明:用归纳法.
不失一般性,可设1≤a1≤a2≤a3≤.≤an.∵an∈N+,且各不相同,∴有n≤an.
当n=1时,1≤a1成立.
设当n=k时,不等式1+1/2+1/3+...+1/K≤a1+a2/2^2+a3/3^2+...+ak/k^2成立.
那么当n=k+1时,由于a(k+1)≥k+1,故a(k+1)/(k+1)^2-1/(k+1) =[a(k+1)-(k+1)]/(k+1)^2≥0,即a(k+1)/(k+1)^2≥1/(k+1).所以
1+1/2+1/3+...+[1/k]+[1/(k+1)]≤(a1+a2/2^2+a3/3^2+...+ak/k^2)+
[1/(k+1)]≤(a1+a2/2^2+...+ak//k^2+a(k+1)/(k+1)^2.
故原不等式成立.
不失一般性,可设1≤a1≤a2≤a3≤.≤an.∵an∈N+,且各不相同,∴有n≤an.
当n=1时,1≤a1成立.
设当n=k时,不等式1+1/2+1/3+...+1/K≤a1+a2/2^2+a3/3^2+...+ak/k^2成立.
那么当n=k+1时,由于a(k+1)≥k+1,故a(k+1)/(k+1)^2-1/(k+1) =[a(k+1)-(k+1)]/(k+1)^2≥0,即a(k+1)/(k+1)^2≥1/(k+1).所以
1+1/2+1/3+...+[1/k]+[1/(k+1)]≤(a1+a2/2^2+a3/3^2+...+ak/k^2)+
[1/(k+1)]≤(a1+a2/2^2+...+ak//k^2+a(k+1)/(k+1)^2.
故原不等式成立.
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