（2014•浙江二模）已知a∈R，函数f（x）=-[lnx/x]+eax-1（e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）a=1时，f（x）=-[lnx/x]+e^x-1，f′（x）=-[1−lnx
x2+e^x-1，
当x＞1时，f′（x）＞-
1−lnx
x2+1=
x2−1+lnx
x2＞0，
当0＜x＜1时，f′（x）＜-
1−lnx
x2+1=
x2−1+lnx
x2＜0，
所以f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）由题意可知：-
lnx/x]+e^ax-1≥a恒成立，且等号可取．
即xe^ax-1-ax-lnx≥0恒成立，且等号可取．
令g（x）=xe^ax-1-ax-lnx
则g′（x）=（ax+1）（eax−1−
1
x）
由eax−1−
1
x=0，得到a=[1−lnx/x]，设p（x）=[1−lnx/x]，p′（x）=[lnx−2
x2
当x＞e²时，p′（x）＞0；当0＜x＜e²时，p′（x）＜0．
p（x）在（0，e²）上递减，（e²，+∞）上递增．所以p（x）_min=p（e²）=-
1
e2
当a≤-
1
e2时，a≤
1−lnx/x]，即eax−1−
1
x≤0，
在（0，−
1
a）上，ax+1＞0，g′（x）≤0，g（x）递减；
在（−
1
a，+∞）上，ax+1＜0，g′（x）≥0，g（x）递增．
所以g（x）_min=g（−
1
a）
设t=−
1
a∈（0，e²]，g（−
1
a）=h（t）=

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、最值和分类讨论的思想方法，注意函数的定义域；属难题．

1年前

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