如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90 0 ，∠B=∠E=30 0 .
| 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90 0 ，∠B=∠E=30 0 .    （1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转。当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ； ②设△BDC的面积为S 1 ，△AEC的面积为S 2 。则S 1 与S 2 的数量关系是 。 （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1 与S 2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想。 （3）拓展探究 已知∠ABC=60 0 ，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S △DCF =S △BDC ,请直接写出相应的BF的长 |
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（1）①DE∥AC。②
。
（2） 仍然成立，证明如下：
∵∠DCE=∠ACB=90 0 ，∴∠DCM＋∠ACE=180 0 。
又∵∠ACN＋∠ACE=180 0 ，∴∠ACN =∠DCM 。
又∵∠CAN=CMD==90 0 ，AC=CD，∴△ANC≌△DMC（AAS）。∴AN=DM。
又∵CE=CB，∴ 。
（3）
或
。
（1）①由旋转可知：AC=DC，
∵∠C=90 0 ，∠B=∠DCE=30 0 ，∴∠DAC=∠CDE=60 0 。∴△ADC是等边三角形。
∴∠DCA=60 0 。∴∠DCA=∠CDE=60 0 。∴DE∥AC。
②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F。
由①可知：△ADC是等边三角形, DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM。
∴CF=EM。
∵∠C=90 0 ，∠B =30 0 ，∴AB=2AC。
又∵AD=AC，∴BD=AC。
∵
，∴ 。
（2）通过AAS证明△ANC≌△DMC，即可得AN=DM，从而由CE=CB得到 。
（3）如图所示，作DF 1 ∥BC交BA于点F 1 ，作DF 2 ⊥BD交BA于点F 2 。F 1 ，F 2 即为所求。
按照（1）（2）求解的方法可以计算出
，
。
。（2）
仍然成立，证明如下：∵∠DCE=∠ACB=90 0 ，∴∠DCM＋∠ACE=180 0 。
又∵∠ACN＋∠ACE=180 0 ，∴∠ACN =∠DCM 。
又∵∠CAN=CMD==90 0 ，AC=CD，∴△ANC≌△DMC（AAS）。∴AN=DM。
又∵CE=CB，∴
。（3）
或
。 （1）①由旋转可知：AC=DC，
∵∠C=90 0 ，∠B=∠DCE=30 0 ，∴∠DAC=∠CDE=60 0 。∴△ADC是等边三角形。
∴∠DCA=60 0 。∴∠DCA=∠CDE=60 0 。∴DE∥AC。
②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F。
由①可知：△ADC是等边三角形, DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM。
∴CF=EM。
∵∠C=90 0 ，∠B =30 0 ，∴AB=2AC。
又∵AD=AC，∴BD=AC。
∵
，∴ 。（2）通过AAS证明△ANC≌△DMC，即可得AN=DM，从而由CE=CB得到
。（3）如图所示，作DF 1 ∥BC交BA于点F 1 ，作DF 2 ⊥BD交BA于点F 2 。F 1 ，F 2 即为所求。
按照（1）（2）求解的方法可以计算出
，
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1年前
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