请高手帮忙做一道线性代数的证明题
请高手帮忙做一道线性代数的证明题
设A是实m*n型矩阵,b是m维列向量.证：方程组A^TAX=A^Tb总是有解的
（提示：秩r(A^TA)=r(A)）
由于书写不方便,A^T中的T为上标,代表A的转置
某感激不尽,临言涕零……
设A是实m*n型矩阵,b是m维列向量.证：方程组A^TAX=A^Tb总是有解的
（提示：秩r(A^TA)=r(A)）
由于书写不方便,A^T中的T为上标,代表A的转置
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证明此题之前要先知道两个结论：
1：r(A^TA)=r(A)=r(A^T)
2：r(A)=r(A,b)则方程组Ax=b有解
知道这两个结论,则问题迎刃而解.
证明：
利用分块矩阵的知识,r(A^TA.A^Tb)=r(A^T,A^Tb)=r(A^T,0)=r(A^T)
第一个等号利用结论1,第二个等号用A^Tb减去A^T右乘以b.这样得到r(A^TA.A^Tb)=r(A^T),利用结论2,得到方程有解.
1：r(A^TA)=r(A)=r(A^T)
2：r(A)=r(A,b)则方程组Ax=b有解
知道这两个结论,则问题迎刃而解.
证明：
利用分块矩阵的知识,r(A^TA.A^Tb)=r(A^T,A^Tb)=r(A^T,0)=r(A^T)
第一个等号利用结论1,第二个等号用A^Tb减去A^T右乘以b.这样得到r(A^TA.A^Tb)=r(A^T),利用结论2,得到方程有解.
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