求函数值域问题利用换元法求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的值域利用数形结合法1.求函数y=|x-1|+|2

1、利用换元法求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的值域
令t=sinx+cosx
则sinxcosx=(t^2-((sinx)^2+(cosx)^2))/2
=(t^2-1)/2
y=sinxcosx+sinx+cosx
=(t^2-1)/2+t
=t^2/2+t-1/2
因为t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
所以t的范围是【-√2,√2】
所以y=t^2/2+t-1/2的范围【-1,1/2+√2】
2、利用数形结合法求函数y=|x-1|+|2x+1|的值域
如图所示
①当x≥1时,y=x-1+2x+1=3x,
此时值域为【3,正无穷）
②当 -1/2＜x＜1时,y=1-x+2x+1=x+2
此时值域为（3/2,3）
③当x≤ -1/2,y=1-x-2x-1=-3x
此时值域为【3/2,正无穷）
3、用导数求函数y=(1+sinx)/(2+cosx)的值域
y ’ =((1+sinx)' *(2+cosx)-(1+sinx) *(2+cosx)')/(2+cosx)^2
=(sinx+2cosx+1)/(2+cosx)^2
=√5sin(x+φ)/(2+cosx)^2
令y‘ ≥0,求其递增区间
则√5sin(x+φ) ≥0
x∈【-φ+2πn,π-φ+2πn】
则递减区间为
x∈（π-φ+2πn,2π-φ+2πn）
所以y=(1+sinx)/(2+cosx)最大值在x=π-φ+2πn处
此时y=(1+sin(π-φ+2πn))/(2+cos(π-φ+2πn))
=(1-sinφ)/(2-cosφ)
前面可得sinφ=2√5/5,cosφ=√5/5
所以最大值y=（√5-2）/（2√5-1）
y=(1+sinx)/(2+cosx)最小值在x= -φ+2πn
代入可得y=(1-sinφ)/(2+cosφ)
=（√5-2）/（2√5+1）
所以导数的范围【(√5-2)/(2√5+1),(√5-2)/(2√5-1)】
这题答案未能分母有理化如果有需要的话化一下也快