求函数值域问题利用换元法求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的值域利用数形结合法1.求函数y=|x-1|+|2

求函数值域问题
利用换元法求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的值域
利用数形结合法1.求函数y=|x-1|+|2x+1|的值域
2.求函数y=(1+sinx)/(2+cosx)的值域(2.如果用导数怎么求?)
百合子章 1年前 已收到3个回答 举报

水蓝色- 幼苗

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1、利用换元法求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的值域
令t=sinx+cosx
则sinxcosx=(t^2-((sinx)^2+(cosx)^2))/2
=(t^2-1)/2
y=sinxcosx+sinx+cosx
=(t^2-1)/2+t
=t^2/2+t-1/2
因为t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
所以t的范围是【-√2,√2】
所以y=t^2/2+t-1/2的范围【-1,1/2+√2】
2、利用数形结合法求函数y=|x-1|+|2x+1|的值域
如图所示
①当x≥1时,y=x-1+2x+1=3x,
此时值域为【3,正无穷)
②当 -1/2<x<1时,y=1-x+2x+1=x+2
此时值域为(3/2,3)
③当x≤ -1/2,y=1-x-2x-1=-3x
此时值域为【3/2,正无穷)
3、用导数求函数y=(1+sinx)/(2+cosx)的值域
y ’ =((1+sinx)' *(2+cosx)-(1+sinx) *(2+cosx)')/(2+cosx)^2
=(sinx+2cosx+1)/(2+cosx)^2
=√5sin(x+φ)/(2+cosx)^2
令y‘ ≥0,求其递增区间
则√5sin(x+φ) ≥0
x∈【-φ+2πn,π-φ+2πn】
则递减区间为
x∈(π-φ+2πn,2π-φ+2πn)
所以y=(1+sinx)/(2+cosx)最大值在x=π-φ+2πn处
此时y=(1+sin(π-φ+2πn))/(2+cos(π-φ+2πn))
=(1-sinφ)/(2-cosφ)
前面可得sinφ=2√5/5,cosφ=√5/5
所以最大值y=(√5-2)/(2√5-1)
y=(1+sinx)/(2+cosx)最小值在x= -φ+2πn
代入可得y=(1-sinφ)/(2+cosφ)
=(√5-2)/(2√5+1)
所以导数的范围【(√5-2)/(2√5+1),(√5-2)/(2√5-1)】
这题答案未能分母有理化如果有需要的话化一下也快

1年前 追问

9

百合子章 举报

第三题的答案好像不对,参考答案是[0,4/3]

举报 水蓝色-

第三题粗心了一下,忘写了点 重新写一遍 用导数求函数y=(1+sinx)/(2+cosx)的值域 y ’ =((1+sinx)' *(2+cosx)-(1+sinx) *(2+cosx)')/(2+cosx)^2 =(sinx+2cosx+1)/(2+cosx)^2 =√5(√5/5sinx+2√5/5cosx)+1/(2+cosx)^2 令cosφ=√5/5,sinφ=2√5/5 可得(√5sin(x+φ)+1)/(2+cosx)^2 令y‘ ≥0,求其递增区间 则√5sin(x+φ)+1 ≥0 sin(x+φ)≥ -√5/5=-cosφ=sin(φ-π/2) 由图可得φ-π/2+2πn≤x+φ≤3π/2-φ+2πn x∈【-π/2+2πn,3π/2-2φ+2πn】 则递减区间为 x∈(3π/2-2φ+2πn,3π/2+2πn) 所以y=(1+sinx)/(2+cosx)最大值在x=3π/2-2φ+2πn处 此时y=(1+sin(3π/2-2φ+2πn))/(2+cos(3π/2-2φ+2πn)) =(1-cos2φ)/(2-sin2φ) cos2φ=(cosφ)^2-(sinφ)^2= -3/5 sin2φ=2sinφcosφ=4/5 所以最大值y=(1+3/5)/(2-4/5)=4/3 y=(1+sinx)/(2+cosx)最小值在x=-π/2+2πn 代入可得y=(1-sin(-π/2+2πn))/(2+cos(-π/2+2πn)) =(1-sin(π/2))/(2+cos(π/2))=0 所以导数的范围【0,4/3】

peacefulbreeze 幼苗

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a=sinx+cosx
=√2(√2/2*sinx+√2/2zosx)
=√2(sinxzosπ/4+zosxsinπ/4)
=√2sin(x+π/4)
所以-√2<=a<=√2
a²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx
sinxcosx=(a²-1)/2
所以y=a&#...

1年前

2

安然沉伦 幼苗

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y=sinxcosx+sinx+cosx=1/2sin2x+1/2sinxcosx=1/2sin2x+1/4sin2x=3/4sin2x.因为sin2x属于[-1,1].所以3/4sin2x属于[-3/4,3/4]

1年前

0
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