如图,∠ABC=90°AB=BC 点O是aC的中点 点P是斜边AC上的一个动点 PB=PD DE⊥AC于点E,求证：PE

如上图所示,过P点作BC边上的垂线（辅助线）,交BC于F点.
∵ PB=PD（已知）； ∴ ∠3=∠4
∵ ∠ABC=90°,AB=BC； ∴ △ABC为等边直角三角形,即：∠A=∠C=45°.
∵ PF⊥BD,∠C=45°； ∴ ∠5+∠4=45°.
∵ 点O是aC的中点,△ABC是等边直角三角形,∠A=45°；∴ ∠1+∠2=45°.
∵ PF⊥BD,∠ABC=90°； ∴ PF∥BD；∴ ∠1=∠3（内错角）
∵ ∠3=∠4,∠5+∠4=45°； ∴∠5+∠3=45°
∵ ∠1=∠3,∠1+∠2=45°； ∴ ∠3+∠2=45°
∵ ∠5+∠3=45°,∠3+∠2=45°；∴ ∠5=∠2.
在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC ,点O是aC的中点,故BO⊥AC,∠BOC=90°
∵ DE⊥AC, ∴,∠DEC=90°
在△PBO和△DPE中,
∵ ∠BOC=90°,∠DEC=90°,∠5=∠2,PB=PD ∴△PBO≌△DPE,PO=DE
在△DEC中,DE⊥AC ,∠C=45°,∴△DEC为等边直角三角形,DE=CE
∵ PO=DE,DE=CE； ∴PO=CE
∵ PO=CE∴ PO+OE=CE +OE,即PE=OC
∵ 点O是aC的中点,△ABC是等边直角三角形,∠A=45°
∴ AO=OC=PE（得证）