设函数f(x)对一切实数x,y满足f(xy)=xf(y)+yf(x)-xy且|f(x)-x|≤1,求函数f(x).

令g(x)=f(x)-x
g(xy)+xy=x(g(y)+y)+y(g(x)+x)-xy
g(xy)=xg(y)+yg(x)
令x=0,g(0)=yg(0),g(0)=0
若存在|a|>=1使得g(a)不等于0
则|g(a^2)|=|2ag(a)|>=2|g(a)|
于是g(a^2)不等于0
类似有
|g(a^4)|>=2|g(a^2)|>=2^2|g(a)|
|g(a^8)|>=2|g(a^4)|>=2^3|g(a)|
|g(a^16)|>=2|g(a^8)|>=2^4|g(a)|
...
但是|g(x)|=|f(x)-x|=1,g(x)=0
而对于|x|