若不等式x2−8x+20mx2−mx−1＜0对∀x恒成立，求实数m的取值范围．

解题思路：给出的分式不等式的分子恒大于0，因此不等式恒成立转化为二次不等式恒成立问题，然后分m=0和m≠0讨论，当m≠0时只需二次项系数小于0，且判别式小于0联立不等式组求解．

∵x²-8x+20=（x-4）²+4＞0，
∴不等式
x2−8x+20
mx2−mx−1＜0对∀x∈R恒成立可化为：mx²-mx-1＜0对∀x∈R恒成立，
当m=0时，mx²-mx-1=-1＜0对∀x∈R恒成立；
当m≠0时，要使mx²-mx-1＜0对∀x∈R恒成立，
则

m＜0
(−m)2+4m＜0，解得-4＜m＜0．
综上，使不等式
x2−8x+20
mx2−mx−1＜0对∀x∈R恒成立的实数m的取值范围是（-4，0]．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了利用“三个二次”结合求解含参数的最值问题，是中档题．

设f(x)=x^2-8x+20/mx^2-mx-1=(1+20/m)x^2-（8+m)x-1
令f(x)恒小于0 抛物线开口要向下 且与x轴无交点
则1+20/m<0 且△=(8+m)^2+4(1+20/m)<0
m^2+20m<0 且m^2+16m+68+80/m<0
-20-20

1年前

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