（2007•烟台三模）已知R上的函数f（x）=[1/3]ax3+[1/2]bx2+cx（a＜b＜c），在x=1时取得极值
（2007•烟台三模）已知R上的函数f（x）=[1/3]ax3+[1/2]bx2+cx（a＜b＜c），在x=1时取得极值，且y=f（x）的图象上有一点处的切线斜率为-a．
（1）证明：0≤[b/a]＜1；
（2）若f（x）在区间（s，t）上为增函数，证明：1≥t＞s＞-2且t-s＜3；
（3）对任意满足以上条件的a，b，c，若不等式f′（x）+a＜0对任意x≥k恒成立，求k的取值范围．
（1）证明：0≤[b/a]＜1；
（2）若f（x）在区间（s，t）上为增函数，证明：1≥t＞s＞-2且t-s＜3；
（3）对任意满足以上条件的a，b，c，若不等式f′（x）+a＜0对任意x≥k恒成立，求k的取值范围．
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解题思路：（1）求导函数，利用函数在x=1时取得极值，a＜b＜c，结合关于x的方程f′（x）=-a有根，即可得出结论；
（2）程f′（x）=ax2+bx-（a+b）=0的两根为1和−
−1，当且仅当−
−1＜x＜1时，f′（x）＞0，可得f（x）在[−
−1，1]上为增函数，即可得出结论；
（3）若f′（x）+a=ax2+bx-b=a（x2+
x−
）＜0对a、b恒成立，换元，变换主元，即可得出结论．
（2）程f′（x）=ax2+bx-（a+b）=0的两根为1和−
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
（3）若f′（x）+a=ax2+bx-b=a（x2+
| b |
| a |
| b |
| a |
（1）证明：求导函数，可得f′（x）=ax2+bx+c，∵函数在x=1时取得极值，∴a+b+c=0，∵函数在x=1时取得极值，∵a＜b＜c，∴a＜b＜-（a+b），∴-12＜ba＜1∵切线斜率为-a，则关于x的方程f′（x）=-a有根，即ax2+bx-b=0...
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
1年前
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