（2009•柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．

解题思路：连接AC，根据已知条件利用等角对等边可以得到CF=BF；作CG⊥AD于点G，先利用HL判定Rt△BCE≌Rt△DCG，推出BE=DG，根据边之间的关系可求得BE的值，再根据相似三角形的判定得到△BCE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例，可得到BC²=BE•AB，这样便求得BC的值，注意负值要舍去．

（1）证明：连接AC，如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC（1分）
又∵∠BDC=∠BAC
在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC（3分）
∴CF=BF；（4分）

（2）解法一：作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分线．（5分）
∴CE=CG，AE=AG（6分）
在Rt△BCE与Rt△DCG中，
CE=CG，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）
∴BE=DG（7分）
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即6-BE=2+DG
∴2BE=4，即BE=2（8分）
又∵△BCE∽△BAC
∴BC²=BE•AB=12（9分）
BC=±2
3（舍去负值）
∴BC=2
3．（10分）

解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB
∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分
在Rt△ADB与Rt△FEB中，
∵∠ABD=∠FBE
∴△ADB∽△FEB，
则[AD/EF＝
AB
BF]，即[2/EF＝
6
BF]，
∴BF=3EF（6分）
又∵BF=CF，
∴CF=3EF
利用勾股定理得：
BE＝
BF2−EF2＝2
2EF（7分）
又∵△EBC∽△ECA
则[CE/AE＝
BE
CE]，
则CE²=AE•BE（8分）
∴（CF+EF）²=（6-BE）•BE
即（3EF+EF）²=（6-2
2EF）•2

点评：
本题考点： 圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查学生对圆周角的定理，相似三角形的判定，全等三角形的判定等知识点的综合运用能力．