请教一个“排列组合”题的解法.从1,2,3,4,5,...,20这20个自然数中任取3个不同的数,使它们成等差数列,这样

首先看递增的数列,考虑等差数列最中间那个数,可能的值是2,3,...,19.
当取2时,可能的等差数列有1,2,3
当取3时,可能的等差数列有1,3,5;
2,3,4
.
可以看到,当中间的那个数为k时,若k=11时,可能的的长数列为：
k-1,k,k+1;
k-2,k,k+2;
...
2k-19,k,19;
2k-20,k,20.共20-k个
由于k可以在2-19里面选取,可能的等差数列个数共有：
(2-1)+(3-1)+...+(10-1)+(20-11)+(20-12)+...+(20-19)
=1+2+...+8+9+9+8+...+2+1
=45+45=90
在考虑递减数列,同样有90个.因此一共有180个不同的等差数列.

差值为1：1，2，3。 共（6＋5＋4＋3＋2＋1）×3＝63
差值为2：1，3，5。
差值为3：1，4，7。
...
...
...
差值为9：1，10，19。

可以这么解，设d为等差，当d＞0时
1）d＝1时；
1，2，3，．．，20;共20个数，取任意三个连续 数，有20-2=18种
2）d=2时，
1,3,5,..,19;共10个数，有10-2= 8 种方法
2,4,6,..,20;共10个数，有10-2= 8 种
3）d=3;
1,4,7,..,19;共7个数，有7-2= 5 种

任取其中的一个数，那么距这个数左右等距离的两个数和它组成等差数列。
据此我们找一下：
1，没有；
2，1组；
3，2组；
4，3组；我们发现，其组数恰为有较少数字的一侧的数字个数；于是有：
……
10，9组；
11，9组；
12，8组；
……
18，2组；
19，1组；
20，没有。
计...