从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为______．

解题思路：设P（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标间的关系，根据垂线的关系及点Q在双曲线上，代入其方程即可得到．

设P（x，y），Q（x₁，y₁），则N（2x-x₁，2y-y₁），
∵N在直线x+y=2上，
∴2x-x₁+2y-y₁=2①
又∵PQ垂直于直线x+y=2，∴
y−y1
x−x1=1，
即x-y+y₁-x₁=0．②
由①②得

x1＝
3
2x+
1
2y−1
y1＝
1
2x+
3
2y−1，
又∵Q在双曲线x²-y²=1上，
∴x₁²-y₁²=1．
∴（[3/2]x+[1/2]y-1）²-（[1/2]x+[3/2]y-1）²=1．
整理，得2x²-2y²-2x+2y-1=0即为中点P的轨迹方程．
故答案为：2x²-2y²-2x+2y-1=0．

点评：
本题考点： 圆锥曲线的轨迹问题．

考点点评： 本题主要考查了轨迹方程的问题．求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x’，y’）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’，y’表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．

设Q (m,n)
x+y=2垂线斜率是1
所以是x-y=p
过Q
所以x-y=m-n
x+y=2
x=(m-n+2)/2
y=(2-m+n)/2
所以N[(m-n+2)/2,(2-m+n)/2]
P(x,y)
则2x=m+(m-n+2)/2=(3m-n+2)/2
2y=n+(2-m+n)/2=(2-m+3n)/...

设P（m,n）.QP的直线方程为y-n=x-m(因为此线与X+Y=2垂直，所以这条直线斜率是1)，将方程带入双曲线。
x=(m^2-2mn+m^2+1)/(2n-2m) —— a
将方程带入直线X+Y=2。
x=(2+m-n)/2 ——b
因为P是QN的中点
所以a+b=2m
最后得出4mn-4m^2=2n-2m+1
接着把m,n换成...