已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．

解题思路：（1）当a=-[1/3]时，求函数的导数，利用最值和导数之间的关系，即可求f（x）的最大值；
（2）a≤-2时，求函数的导数，利用导数即可判断函数f（x）的单调性；
（3）若a≤-2，根据函数f（x）的单调性，将不等式进行等价转化，即可证明不等式．

（1）f(x)＝
2
3lnx−
1
3x2+1∴f′(x)＝
2
3x−
2x
3=
−2(x+1)(x+1)
3x
当x∈（0，+∞）变化时，f（x），f'（x）变化情况如下表：

x（0，1）1（1，+∞）
f（x）+0-
f'（x）单调递增极大值单调递减∴当x=1时，f（x）取得极大值，也是最大值f(1)＝
2
3
即f(x)max＝
2
3．
（2）f′(x)＝
a+1
x+2ax
∵x＞0，a+1＜0，2a＜0，
∴[a+1/x+2ax＜0恒成立f（x）在（0，+∞）是减函数．
（3）∵f（x）在（0，+∞）单调减，∴不妨设x₁＞x₂＞0
则|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|⇔f（x₂）-f（x₁）≥4x₁-4x₂，
即f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁
∴f（x）+4x在（0，+∞）单调减，
设g（x）=f（x）+4x=（a+1）lnx+ax²+4x+1（x＞0），
g′(x)＝
a+1
x+2ax+4＝
2ax2+4x+a+1
x]，
∵a≤-2，
∴△=16-4×2a×（a+1）=-8（a²+a-2）=-8（a+2）（a-1）≤0，
∴g′(x)＝
a+1
x+2ax+4＝
2ax2+4x+a+1
x≤0恒成立．
∴g（x）为减函数，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|对∀x∈（0，+∞）均成立．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，综合性较强，难度较大．