（2009•海淀区二模）已知函数f（x）=x2（x+a）．

解题思路：（I）由已知中函数f（x）=x²（x+a），令a=1，我们可以以求出函数的解析式，进而求出其导函数的解析式，进而分析出函数的单调性，最后求出f（x）的极值；
（Ⅱ）根据已知中函数f（x）=x²（x+a），我们求出导函数的解析式，由a≠0可知我们要分a＞0和a＜0两种情况进行分类讨论，分别确定出导函数的符号，进而判断出f（x）的单调区间．

f（x）=x²（x+1）=x³+x²f'（x）=3x²+2x…（1分）
令3x²+2x=0则x1＝0，x2＝−
2
3…（2分）

x (−∞，−
2
3) −
2
3 (−
2
3，0) 0 （0，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗…（4分）∴当x＝−
2
3时，f(x)极大值＝f(−
2
3)＝
4
27…（5分）
当x=0时，f（x）_极小值=f（0）=0…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=x³+ax²∴f'（x）=3x²+2ax=x（3x+2a）…（7分）
①当a＜0时，−
2a
3＞0
令f'（x）=3x²+2ax＞0得x＜0或x＞−
2a
3…（8分）
令f'（x）=3x²+2ax＜0得0＜x＜−
2a
3…（9分）∴f（x）的单调增区间为（-∞，0），(−
2a
3，+∞)，单调减区间为(0，−
2a
3)．…（10分）
②当a＞0时，−
2a
3＜0
令f'（x）=3x²+2ax＞0得x＜−
2a
3或x＞0…（11分）
令f'（x）=3x²+2ax＜0得−
2a
3＜x＜0…（12分）∴f（x）的单调增区间为(−∞，−
2a
3)，（0，+∞）．单调减区间为(−
2a
3，0)．…（13分）
综上可知，当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，0），(−
2a
3，+∞)，单调减区间为(0，−
2a
3)；
当a＞0时，f（x）的单调增区间为(−∞，−
2a
3)，（0，+∞），单调减区间为(−
2a
3，0)．

点评：
本题考点： 对数函数的图像与性质；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中解答的关键的根据已知函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，并判断其符号．