（2014•西城区一模）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．
（2014•西城区一模）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；
（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．
| 寿命（天） | 频数 | 频率 |
| [100，200） | 20 | 0.10 |
| [200，300） | 30 | a |
| [300，400） | 70 | 0.35 |
| [400，500） | b | 0.15 |
| [500，600） | 50 | 0.25 |
| 合计 | 200 | 1 |
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；
（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．
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解题思路：（Ⅰ）利用频率分布表中的数据直接计算能求出a、b的值．
（Ⅱ）由频率分布表知按分层抽样法，购买灯泡数n=k+2k+k=4k（k∈N*）个，由此能求出n的最小值．
（Ⅲ）X的所有取值为0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（Ⅱ）由频率分布表知按分层抽样法，购买灯泡数n=k+2k+k=4k（k∈N*）个，由此能求出n的最小值．
（Ⅲ）X的所有取值为0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（本小题满分13分）
（Ⅰ）a=1-0.10-0.35-0.15-0.25=0.15，
b=200-20-30-70-50=30．…（2分）
（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，
∴优等品、正品和次品的比例为50：100：50=1：2：1．…（4分）
∴按分层抽样法，购买灯泡数n=k+2k+k=4k（k∈N*），
∴n的最小值为4．…（6分）
（Ⅲ）X的所有取值为0，1，2，3．…（7分）
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15=0.25，…（8分）
从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，
∴P(X＝0)＝
C03×(1−
1
4)3＝
27
64，
P(X＝1)＝
C13×
1
4×(1−
1
4)2＝
27
64，
P(X＝2)＝
C23×(
1
4)2(1−
1
4)1＝
9
64，
P(X＝3)＝
C33×(
1
4)3＝
1
64．…（11分）
∴随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P [27/64] [27/64] [9/64] [1/64]…（12分）
∴X的数学期望E(X)＝0×
27
64+1×
27
64+2×
9
64+3×
1
64＝
3
4．
…（13分）
（注：写出X～B(3，
1
4)，P(X＝k)＝
Ck3(
1
4)k(1−
1
4)3−k，k=0，1，2，3．请酌情给分）
点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．
考点点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．
1年前
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