试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和．

解题思路：写出n＞6时的自然数，得到必有一个数A与n互质，然后分三种情况讨论：（1）当n为奇数时；（2）当n为偶数，但不是4的倍数时；（3）当n为偶数，且又是4的倍数时．

证明：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，…，n-2中，必有一个数A与n互质（2≤A≤n-2），
记B=n-A≥2，有n=A+B，
此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾．
（1）当n为奇数时，
n=2+（n-2），或n=[n−1/2]+[n+1/2]
（2）当n为偶数，但不是4的倍数时，n=[n−4/2]+[n+4/2]，
由n＞6知[n−4/2]＞1，且[n+4/2]、[n−4/2]均为奇数，
（[n−4/2]，[n+4/2]）=（[n−4/2]，4）=1．
（3）当n为偶数，且又是4的倍数时，有n=[n−2/2]+[n+2/2]，
由n＞6知[n−2/2]＞1，且[n−2/2]、[n+2/2]均为奇数，
（[n−2/2]，[n+2/2]）=（[n−2/2]，2）=1．

点评：
本题考点： 质数与合数．

考点点评： 此题考查了自然数中互质的数的判定，分类讨论在解题中起着至关重要的作用，不可轻视．

若N为奇数，则它可以表示为2n+1的形式，而2n+1又可以表示为n与n+1的和，是两个连续自然数，两个连续自然数一定互质。（n不等于1时也行）
若N为偶数，则它可以表示为2n的形式，若2n/2为偶数，2n可以表示为n-1与n+1的和，是两个连续奇数，一定为自然数，互质；若2n/2为奇数，2n可以表示为n-2与n+2的和，是两个相差4的奇数，奇数（除1外）加4一定为自然数，互质。...

比如说7吧，2和5是互质数，和是7
8:3和5是互质数，它们的和是8
9以此类推
10
11
。。。。。。。。。。。。。

若是奇数（2m+1），可以分成m和（m+1）
不解释
若是偶数 （2m）
——m是偶数 可以分成（m-1）和（m+1）——不解释
——m是奇数 可以分成（m-2）和（m+2）
解释一下：若|a-b|和a(或b)互质，则a，b互质。
因为4和任何大于1奇数互质，所以，所以第二条也就可以理解了
当然，最重要的是要大于6。...