已知双曲线C1:2x^2-y^2=1,设椭圆C2:4x^2+y^2=1,若M,N分别是C1,C2上的动点,且OM垂直于O
已知双曲线C1:2x^2-y^2=1,设椭圆C2:4x^2+y^2=1,若M,N分别是C1,C2上的动点,且OM垂直于ON,求证：
O到直线MN的距离是定值
O到直线MN的距离是定值
赞 mostorange 春芽
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不妨考虑极坐标解法：
设 OM长r1,ON长r2,OM与X轴夹角为a,那么ON与x轴夹角 a+π/2
M:(r1cosa,r1sina) ;则有 N(r2cos(a+π/2) ; r2cos(a+π/2)) ;
N坐标等价于 ( -r2sina,r1cosa) 代入C1,C2
r1^2*(2(cosa)^2-(sina)^2)=1 ; 1/r1^2 = 2(cosa)^2-(sina)^2
同理 1/r2^2 = 4(sina)^2+(cosa)^2
O到直线MN的距离为d ; 可知 d^2 = OM^2*ON^2/(MN^2)
于是 1/d^2 = (MN)^2/ OM^2*ON^2 = (r1^2+r2^2)/(r1*r2)^2 = 1/r1^2+1/r2^2=3
因此 d = √3/3 为定值
设 OM长r1,ON长r2,OM与X轴夹角为a,那么ON与x轴夹角 a+π/2
M:(r1cosa,r1sina) ;则有 N(r2cos(a+π/2) ; r2cos(a+π/2)) ;
N坐标等价于 ( -r2sina,r1cosa) 代入C1,C2
r1^2*(2(cosa)^2-(sina)^2)=1 ; 1/r1^2 = 2(cosa)^2-(sina)^2
同理 1/r2^2 = 4(sina)^2+(cosa)^2
O到直线MN的距离为d ; 可知 d^2 = OM^2*ON^2/(MN^2)
于是 1/d^2 = (MN)^2/ OM^2*ON^2 = (r1^2+r2^2)/(r1*r2)^2 = 1/r1^2+1/r2^2=3
因此 d = √3/3 为定值
1年前 追问
4
好像不对呀，两直线夹角应该是＜九十度，这个“那么ON与x轴夹角 a+π/2 ”？
OM垂直于ON, 这不是题目告诉你的么，难道夹角不是九十度？。不是“两直线夹角应该是＜九十度" 而是 两直线夹角应该是小于等于九十度
没错，是小于或等于，但是当a大于零度时，a+π/2 不就超过九十度了，我认为应该是π/2-a
我晕，那我这么和你说，我这里的a表示的是终边相同的角是而不是直线的夹角好不？还记得三角函数里面终边相同的角度不？ 是x正半轴逆时针旋转到与OM，ON重合的角度好不。这种问题还要解释半天。这个问题再追问不回答了，除非你加分
不好意思，刚看到这儿就没往下看，麻烦你了，不过不懂就问是好品质，人人都有糊涂时，你说是吧？而且，你能不能想到其他方法？
看你还算有诚意，那么我给出常规解法，弯路多一点 M(x1,y1) ;N(x2,y2) 注意我的设法: 直线OM: y=kx 代入 2x^2-y^2=1; x1^2 = 1/(2-k^2),因此 y2^2 = k^2/(2-k^2) 直线ON: x=-ky 代入 4x^2+y^2 = 1; (4k^2+1)y2^2=1; y2^2 = 1/(4k^2+1); x2^2 = k^2/(4k^2+1) OM^2 = x1^2+y1^2 = (1+k^2)/(2-k^2) ON^2 = x2^2+y2^2 = (1+k^2)/(4k^2+1) MN^2 = OM^2+ON^2 = (1+k^2) * [4k^2+1+2-k^2]/(2-k^2) (4k^2+1) = 3(1+k^2)^2/(2-k^2) (4k^2+1) OM^2*ON^2 = (1+k^2)^2/(2-k^2) (4k^2+1) 所以 d^2 = OM^2*ON^2/MN^2 = 1/3 d= √3/3 为定值
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1年前1个回答
你能帮帮他们吗