设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a的导数为f'（x），若函数y=f'（x）的图象关于直线x＝43对称，且函数y=f

解题思路：（Ⅰ）求导数，根据函数y=f'（x）的图象关于直线x＝

4

3

对称，且函数y=f'（x）有最小值x＝−

1

3

，可求出函数的解析式，从而可确定函数的单调性，进而可求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）确定f（x）+g（x）=x³-3x²-9x+m-2，构造函数h（x）=f（x）+g（x），确定函数的单调性与极值，利用方程f（x）+g（x）=0只有一个实根，构建不等式，从而可求m的取值范围．

（Ⅰ）求导数，可得f′(x)＝3x2+4ax+b＝3(x+
2a
3)2−
4a2
3+b
∵函数y=f'（x）的图象关于直线x＝
4
3对称，且函数y=f'（x）有最小值x＝−
1
3．
∴−
2a
3＝
4
3，且−
4a2
3+b＝−
1
3，解得a=-2、b=5…（3分）
∴f（x）=x³-4x²+5x-2
∴f'（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1）
∴当x＜1或x＞
5
3时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在（-∞，1]或[
5
3，+∞)上单调递增
当1＜x＜
5
3时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在[1，
5
3]上单调递减
∴x=1时，函数y=f（x）取得极大值f（1）=1-4+5-2=0；
x＝
5
3时，函数y=f（x）取得极小值f(
5
3)＝(
5
3)3−4(
5
3)2+5×
5
3−2＝−
4
27…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-4x²+5x-2，∴f（x）+g（x）=x³-3x²-9x+m-2
令h（x）=f（x）+g（x），则h'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴函数h（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增
∴h（x）_极大值=h（-1）=3+m，h（x）_极小值=h（3）=m-29…（9分）
∵方程f（x）+g（x）=0只有一个实根
∴

3+m＞0
m−29＞0或

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数与方程的联系，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．