禾女 幼苗
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(I) f'(x)=3x2+4ax+b,g'(x)=2x-3.
由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.
由此得
8+8a+2b+a=0
12+8a+b=1,解得
a=−2
b=5,
所以a=-2,b=5..切线的方程为x-y-2=0.
(II)由(I)得f(x)=x3-4x2+5x-2,所以f(x)+g(x)=x3-3x2+2x.
依题意,方程x(x2-3x+2-m)=0,有三个互不相等的实根0,x1,x2,
故x1,x2是x2-3x+2-m=0的两相异实根.
所以△=9-4(2-m)>0,解得m>-[1/4].
又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
特别地取x=x1时,f(x1)+g(x1)<m(x1-1)成立,得m<0.
由韦达定理得x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0.故0<x1<x2.
对任意的x∈[x1,x2],x-x2≤0,x-x1≥0,x>0.
则f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0,又f(x1)+g(x1)-mx1=0.
所以f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]上的最大值为0.
于是当m<0,对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
综上得:实数m的取值范围是(-[1/4],0).
点评:
本题考点: 函数与方程的综合运用;函数恒成立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题主要考查函数,导数,不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立,以及函数与方程和特殊与一般的思想.
1年前
1年前1个回答
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