（2014•西安）甲、乙两学生沿圆形的跑道（如图）练习跑步，甲每秒跑6米，乙每秒跑4米，两学生从直径的两端A、B相向跑步

解题思路：（Ⅰ）直接把n=1代入4S_n=a_n²+2a_n-3再结合各项均为正实数即可求出a₁；
（Ⅱ）直接根据4S_n=an2+2a_n-3以及4s_n-1=an−12+2a_n-1-3；作差整理求出a_n-a_n-1=2，得到数列的规律，即可求出结论；
（Ⅲ）先求出数列{

an

bn

}的通项公式，在利用错位相减法求和，进而证明结论．

（Ⅰ）当n=1时，4S₁=4a₁=a1 2+2a₁-3，，得a12-4a₁-3=0，
a₁=3或a₁=-1，由条件a_n＞0，所以a₁=3．…（2分）
（Ⅱ）当n≥2时，4S_n=an2+2a_n-3，4s_n-1=an−12+2a_n-1-3；
则4S_n-4S_n-1=an2+2a_n-3-an−12-2a_n-1+3，
所以4a_n=an2+2a_n-an−12-2a_n-1，an2-2a_n-an−12-2a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（4分）
由条件a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2，…（5分）
故正数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以a_n=2n+1．…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）b_n=
2an−1=
22n+1−1=2ⁿ，
an
bn=[2n+1
2n，…（8分）
∴T_n=
3/2]+
5
22+…+
2n−1
2n−1+

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题主要考察数列与不等式的综合问题．其中涉及到数列的错位相减法求和，数列的错位相减法求和适用于一等差数列乘一等比数列组成的新数列．