设数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =（1+λ）-λa n ，其中λ为常数，且λ≠-1，0，n∈N +

（1）证明：
由 S _n =（1+λ）-λa _n ，①
得 S _n+1 =（1+λ）-λa _n+1 ，②（n∈N ⁺ ）
②-①得S _n+1 -S _n =-λa _n+1 +λa _n ，
即a _n+1 =-λa _n+1 +λa _n ，
移向整理得（1+λ）a _n+1 =λa _n ，
∵λ≠-1，0，又得a _n+1
a n+1
a n =
λ
1+λ ，是一个与n无关的非零常数，
∴数列{a _n }是等比数列．

（2）由（1）可知q=f（λ）=
λ
1+λ ，∴b _n =f（b _n-1 ）=
b n-1
1+ b n-1
两边取倒数得出
1
b n =
1+ b n-1
b n-1 =
1
b n-1 +1，移向得出
1
b n -
1
b n-1 =1 （n∈N ⁺ ，n≥2），
∴{
1
b n }是等差数列，且首项
1
b 1 =2，公差为1．
由等差数列通项公式求得

1
b n =2+（n-1）×1=n+1
∴b _n =
1
n+1 ．

（3）证明：当λ=1时数列{a _n }的公比q=f（λ）=
λ
1+λ =
1
2 ，
在S _n =（1+λ）-λa _n ，中令n=1时，得出a ₁ =2-a ₁ ，解得a ₁ =1．
∴等比数列{a _n }的 通项公式为a _n =a ₁ •q ^n-1 = (
1
2 ) n-1
从而 C n = a n (
1
b n -1) = (
1
2 ) n-1 •[（n+1）-1]=n• (
1
2 ) n-1 ＞0，数列{C _n }的前n项和T _n 随n的增大而增大．
由 T _n =1• (
1
2 ) 0 +2• (
1
2 ) 1 +3• (
1
2 ) 2 +…n• (
1
2 ) n-1
得
1
2 T _n =1• (
1
2 ) 1 +2• (
1
2 ) 2 +…（n-1）• (
1
2 ) n-1 +n• (
1
2 ) n
两式相减得

1
2 T _n = (
1
2 ) 0 + (
1
2 ) 1 + (
1
2 ) 2 +… (
1
2 ) n-1 -n• (
1
2 ) n
=
1- (
1
2 ) n
1-
1
2 -n• (
1
2 ) n
=2-（n+2）• (
1
2 ) n
∴T _n =4-（n+2）• (
1
2 ) n-1
当n≥2时，T _n ≥T ₂ =4-4•
1
2 =2． 易知T _n ＜4．
所以当n≥2时，2≤T _n ＜4．