抛物线y2=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线交抛物线于A、B两点．

解题思路：（1）先求出抛物线的准线方程得到点M的坐标，再设直线方程与抛物线联立结合违达定理即可求出线段AB中点的轨迹方程；（注意范围的限制）
（2）先求出线段AB的垂直平分线方程，进而得到点N的坐标，根据实数k的范围限制即可证明结论；
（3）先求出数列的通项，发现其是以[1/12]首项，以[1/4]为公比的等比数列，再代入等比数列的求和公式即可．

（1）抛物线的准线方程为x=-p，
∴M（-p，0），
设l方程为y=k（x+p）（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P（x，y）得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，A，B在y²=4px上得：y₁²=4px₁，
y₂²=4px₂，显然AB斜率k存在，两式相减得：k=
y2−y1
x2−x1=[4p
y1+y2=
2p/y]，
又A，B，M，P共线得其斜率也可表示为k=[y/x+p]=[2p/y]，
即得y²=2px+2p²，（p＞0，x＞0），即为AB中点P轨迹方程．
（2）证明：线段AB的垂直平分线方程为y−
1
k＝−
1
k[x−(
2
k2−1)
1
2]，令y=0，
N （x₀，0）的横标x0＝(
2
k2+1)
1
2， ∵0＜k2＜1， ∴(
2
k2+1)
1
2＞
3
2， ∴x0＞
3
2．
（3）当直线l的斜率kn＝(
1
2)n时，
Nn((
2
(
1
2)n+1)
1
2，0)， ∵|NnNn+1|＝|xn+1−xn|
=|(
2
(
1
2)2n+2+1)
1
2−(
2
(
1
2)2n+1)
1
2|＝

点评：
本题考点： 等比数列的前n项和；一元二次方程的根的分布与系数的关系；直线的斜率；轨迹方程．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的求和公式的应用．本题的易错点在于忘记考虑参数的范围，从而得到错误答案．准线为方程：x=-p，则M（-p，0）