设抛物线y2=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线l交抛物线于A，B两点．
设抛物线y2=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线l交抛物线于A，B两点．
（1）求线段AB中点的轨迹方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0＞3p；
（3）若直线l的斜率依次取p，p2，…，pn时，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，…，Nn，当时0＜p＜1，求Sn−1＝
+
+…+
(n≥2，n∈N*)的值．
（1）求线段AB中点的轨迹方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0＞3p；
（3）若直线l的斜率依次取p，p2，…，pn时，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，…，Nn，当时0＜p＜1，求Sn−1＝
| 1 |
| |N1N2| |
| 1 |
| |N2N3| |
| 1 |
| |Nn−1Nn| |
赞 qqlanyilin 幼苗
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解题思路：（1）设出l的方程代入y2=4px，确定k的范围，利用韦达定理，确定线段AB的中点坐标，消参，即可求得AB中点的轨迹方程；
（2）求出线段AB的垂直平分线方程，令y=0，得x0＝(
+1)p，从而可得结论；
（3）确定{
}是以
为首项，以p2为公比的等比数列，且0＜p2＜1，即可求得结论．
（2）求出线段AB的垂直平分线方程，令y=0，得x0＝(
| 2 |
| k2 |
（3）确定{
| 1 |
| |Nn−1Nn| |
| p3 |
| 2(1−p2) |
（1）抛物线的准线为x=-p，∴M（-p，0），
设l：y=k（x+p）（k≠0），代入y2=4px得k2x2+2（k2-2）px+k2p2=0
由△=4（k2-2）2p2-4k4p2＞0得-1＜k＜1（k≠0）
设线段AB的中点为Q（x，y），则x＝
x1+x2
2＝(
2
k2−1)p，y＝k(x+p)＝
2p
k
消去k，得y2=2p（x+p）（x＞p），即为所求AB中点的轨迹方程；（4分）
（2）证明：线段AB的垂直平分线方程为y−
2p
k＝−
1
k[x−(
2
k2−1)p]．
令y=0，得x0＝(
2
k2+1)p，∵0＜k2＜1，∴x0＞3p；（8分）
（3）当斜率kn＝pn时，N((
2
p2n+1)p，0)，
∵|Nn−1Nn|＝|xn−xn−1|＝|(
2
p2n+1)p−(
2
p2n−2+1)p|＝
2(1−p2)
p2n−1(0＜p＜1)，
∴
1
|Nn−1Nn|＝
p2n−1
2(1−p2)＝
p
2(1−p2)(p2)n−1，
∴{
1
|Nn−1Nn|}是以
p3
2(1−p2)为首项，以p2为公比的等比数列，且0＜p2＜1
故Sn＝
p3(1−p2n−2)
2(1−p
点评：
本题考点： 轨迹方程；数列的求和．
考点点评： 本题考查轨迹方程，考查等比数列的证明与求和，确定数列的通项是关键．
1年前
8
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