观察下列三角形数表假设第n行的第二个数为an（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；（Ⅱ）归纳出an+

解题思路：（I）根据三角形数表，两侧数为从1开始的自然数列，中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和的规律写出来．
（II）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（III）由a_nb_n=1，解得bn＝

2

n2−n+2

＜

2

n2−n

＝2(

1

n−1

−

1

n

)再由裂项相消法证明．

（I）第六行的所有6个数字分别是
6，16，25，25，16，6；（2分）
（II）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），
a₂=2a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）++（a_n-a_n-1）
=2+2+3++(n−1)＝2+
(n−2)(n+1)
2，
所以an＝
1
2n2−
1
2n+1(n≥2)；
（III）因为a_nb_n=1，所以bn＝
2
n2−n+2＜
2
n2−n＝2(
1
n−1−
1
n)（12分）b2+b3+b4++bn＜2[(
1
1−
1
2)+(
1
2−
1
3)++(
1
n−1−
1
n)]=2(1−
1
n)＜2．（15分）

点评：
本题考点： 数列的求和；数列的应用；归纳推理．

考点点评： 本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，还考查了数列间的关系，入题较难，知识点，方法活，属中档题．