（11分）如图1，已知抛物线经过原点0和x轴上另一个点E,顶点M的坐标是（2，4）; 矩形ABCD的顶点A与点0重合，A

解:(1)所求抛物线的顶点坐标为(2,4),故可设其函数表达式为y=a(x-2) ² +4…1分
又抛物线过点(0,0),得0=a(0-2) ² +4,解得:a= -1
所以,该抛物线的函数表达式为: y=-(x-2) ² +4即y=-x ² +4x.………………3分
(2)①点P不在直线ME上.………………4分
由抛物线的对称性可知:点E的坐标为(4,0).
又点M的坐标为(2,4),设直线ME的表达式为y=kx+b,则有
,所以直线ME的表达式为y="-2x+8." ………………6分
由已知条件可知,当t= 时,OA=AP= ∴点P的坐标为( , ).
∵点P的坐标不满足直线ME的函数表达式y=-2x+8,
∴点P不在直线ME上.………………7分
②S存在最大值,理由如下:………8分
由题意可知: OA=AP=t,又∵点A在x轴的非负半轴上,点N在抛物线y=-x ² +4x上,
∴点P与点N的坐标分别为(t,t)、(t,-t ² +4t), ∴AN=-t ² +4t(0≤t≤3),
∴PN=AN-AP=-t ² +4t-t=-t ² +3t.
(i)当PN=0即t=0或t=3时,以点P、N、C、D为顶点的图形是三角形,此三角形的高是AD,底边为CD, ∴S= .………………9分
(ii)当PN≠0时, 以点P、N、C、D为顶点的图形是四边形.
∴ .
所以当t= 时,S _最大值 = .
所以,当t= 时,以点P、N、C、D为顶点的图形面积有最大值,其最大值为 .………11分

略