已知函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．

解题思路：（I）先求函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函数的单调增区间，解不等式f′（x）＜0得函数的单调减区间，最后由极值定义求得函数极值
（II）构造新函数g（x），把在区间（1，3）上不是单调函数，即函数g（x）的导函数在区间（1，3）不能恒为正或恒为负，从而转化为求导函数的函数值问题，利用导数列出不等式，最后解不等式求得实数m的取值范围

（Ⅰ）当a=-1，f（x）=-lnx+2x+3（x＞0），f′(x)＝
−1
x+2，…（2分）
∴f（x）的单调递减区间为（0，[1/2]），单调递增区间为（[1/2]，+∞）…（4分），
∴f（x）的极小值是f(
1
2)＝−ln
1
2+2×
1
2+3＝ln2+4．…（6分）
（Ⅱ）g(x)＝
1
3x3+x2(−
1
x+2+m)，g′（x）=x²+（4+2m）x-1，…（8分）
∴g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，
且g′（0）=-1，
∴

g′(1)＜0
g′(3)＞0 …（10分）
∴

4+2m＜0
20+6m＞0 即：-
10
3＜m＜−2．
故m的取值范围(−
10
3，−2)…（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题考查了函数的定义域、单调性、极值，以及导数在其中的应用，由不等式恒成立问题与最值问题求解参数的取值范围的方法