已知双曲线的渐进线是y=+-1/2x,则双曲线方程为什么可表示为x^2-4y^2=k?

如果双曲线的实轴在x轴上：设方程为x^/a^-y^/b^=1
渐近线方程为：y=±(b/a)x=±(1/2)x--->a=2b
双曲线方程为x^/(4b^)-y^/b^=1---->x^-4y^=(4b^)
如果双曲线的实轴在y轴上：设方程为x^/a^-y^/b^=-1
渐近线方程为：y=±(a/b)x=±(1/2)x--->b=2a
双曲线方程为x^/a^-y^/(4a^)=-1---->4x^-y^=-(4a^)
∴当双曲线的实轴在x轴上时,方程可表示为x^-4y^=k(k>0)
否则,当双曲线的实轴在y轴上时,方程应表示式为y^-4x^=k(k>0)

只不过是求渐近线的逆过程
x²/a²-y²/b²=1
令x²/a²-y²/b²=0
∴x²/a²=y²/b²
∴y=±bx/a
所以要求y=±x/2的双曲线即，
两边同时平方
4y²=x²
然后令x²-4y²=k

如果双曲线方程为x^2-4y^2=k
那么
渐近线方程为
x^2-4y^2=0
即
（x-2y）（x＋2y）=
x=2y和x＋2y=0
渐进线是y=+-1/2x

双曲线的渐进线是y=±b/ax,
所以b/a=1/2
所以
a²=4b²
所以可表示为x^2-4y^2=k