假设C是正向圆周x^2+y^2=2在上半平面的部分,求曲线积分∫c xdy-2ydx的值 请给出详细解答

zwei2005 1年前 已收到1个回答 举报
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fdwbmm 幼苗

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添加直线y=0,把曲线补成一个闭合半圆,然后用格林公式
∫[c] xdy-2ydx + ∫[y=0,x:-√2->√2] xdy-2ydx =∫∫[D] 1+2 dxdy
∫[c] xdy-2ydx=∫∫[D] 3 dxdy - 0 = 3*(1/2)*2π=3π

1年前 追问

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zwei2005 举报

谢谢，我一开始做是用x=√2cosa y=√2sina 然后代入∫c xdy-2ydx 积分区间【0，π】，我得出的结果是π，请问一下 我错在哪了？

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∫xdy-2ydx=∫[0,π] √2cosθd√2sinθ - 2∫[0,π] √2sinθd√2cosθ =∫[0,π] 2cos²θ + 4sin²θdθ=12∫[0,π/2] sin²θdθ=12*π/4=3π 结果是一样的

zwei2005 举报

设x=√2cosa y=√2sina 代入∫c xdy-2ydx ，即∫√2cosad √2sina -2√2sina d√2cosa =2（cosa）^2 da+4(sina)^2 da=2+2(sina)^2 da=(1+cos2a) da 设2a=t 由于a[0,π]故t为【0,2π],故∫[（1+cost）/2 ]dt=π

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2+2(sina)^2 da=(1+cos2a)da这步有问题，1+cos2a=1+cos²θ-sin²θ=2cos²θ
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