（2010•建德市模拟）已知a＞0，f（x）=ax2-2x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0）

解题思路：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．
（2）将切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），求出h'（x），然后讨论a与[1/2]的大小，研究函数的单调性，求出满足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范围即可．

（1）∵f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1）∴f（0）=1
∴f'（x）=
2ax2+(2a−2)x−1
x+1∴f′（0）=-1
切点p（0，1），切线l的斜率为-1∴切线l的方程：y=-x+1；
（2）切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程
ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），∵h（0）=0
∴方程h（x）=0有一解x=0
h'（x）=2ax-1+[1/x+1＝
2ax2+(2a−1)x
x+1＝
2ax[x−(
1
2a−1)]
x+1]
①若a=[1/2]，则h'（x）=
x2
x+1≥0（x＞-1），
∴h（x）在（-1，+∞）上单调递增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；
②若0＜a＜[1/2]，则h′（x）=0两根x₁=0，x₂=[1/2a]-1＞0

∴h(
1
2a−1)＜h（0）=0，而h(
1
a)＞0
∴方程h（x）=0在(
1
2a−1，+∞)
上还有一解，则h（x）=0解不唯一；
③若a＞[1/2]，则h′（x）=0两根x₁=0，x₂=[1/2a]-1∈（-1，0）
同理可得方程h（x）=0在(−1，
1
2a−1)上还有一解，
则h（x）=0解不唯一
综上，当切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，a=[1/2]．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化与划归的思想，以及计算能力，属于中档题，综合题．