若数列{An}满足A（n+1）=An^2,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列 {an}中a1=2,且a（n+1
若数列{An}满足A（n+1）=An^2,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列 {an}中a1=2,且a（n+1）=2an^2+2an其中n为正整数(n+1都为下标)
（1）设bn=2an+1证明数列 {bn}是“平方递推数列”.
（2）设（1）中“平方递推数列”{bn}的前n项之积为Tn,
即Tn=（2a1+1）（2a2+1）...（2an+1）求数列{an}的 通项及Tn关于
n的表达式；
（3）记Cn=log{2（an）+1}Tn,求数列{Cn}的前项之和Sn,并求使Sn〉2008的n的最小值 （尤为第三题）
（1）设bn=2an+1证明数列 {bn}是“平方递推数列”.
（2）设（1）中“平方递推数列”{bn}的前n项之积为Tn,
即Tn=（2a1+1）（2a2+1）...（2an+1）求数列{an}的 通项及Tn关于
n的表达式；
（3）记Cn=log{2（an）+1}Tn,求数列{Cn}的前项之和Sn,并求使Sn〉2008的n的最小值 （尤为第三题）
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(1)b(n+1)=2a(n+1)+1=4[a(n)]^2+4a(n)+1=[2a(n)+1]^2=[b(n)]^2
{bn}是平方递推数列.
(2)b(n)=[b(n-1)]^2=[b(n-4)]^4=…=[b(1)]^[2^(n-1)]
而：b(1)=2a(1)+1=5
∴b(n)=5^[2^(n-1)]
∴a(n)={5^[2^(n-1)]-1}/2
Tn=5^[1+2+4+…+2^(n-1)]=5^(2^n-1).
(3)用对数换底公式：logab=lnb/lna:
Cn=logb(n)Tn=lnTn/lnb(n)=(2^n-1)/2^(n-1)=2-(1/2)^(n-1)
Sn=2n-2+(1/2)^(n-1);
Sn=2n-2+(1/2)^(n-1)＞2008
考虑到1≥(1/2)^(n-1)＞0
于是2n-2≥2008
n最小1003.
{bn}是平方递推数列.
(2)b(n)=[b(n-1)]^2=[b(n-4)]^4=…=[b(1)]^[2^(n-1)]
而：b(1)=2a(1)+1=5
∴b(n)=5^[2^(n-1)]
∴a(n)={5^[2^(n-1)]-1}/2
Tn=5^[1+2+4+…+2^(n-1)]=5^(2^n-1).
(3)用对数换底公式：logab=lnb/lna:
Cn=logb(n)Tn=lnTn/lnb(n)=(2^n-1)/2^(n-1)=2-(1/2)^(n-1)
Sn=2n-2+(1/2)^(n-1);
Sn=2n-2+(1/2)^(n-1)＞2008
考虑到1≥(1/2)^(n-1)＞0
于是2n-2≥2008
n最小1003.
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