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我生君已生 幼苗
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(Ⅰ)因为3=3,3=1+2,3=1+1+1,所以f(3)=3.
因为5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1,
所以f(5)=7.
(Ⅱ)证明:因为n+1≥2,把n+1的一个表示法中a1=1的a1去掉,就可得到一个n的表示法;反之,在n的一个表示法前面添加一个“1+”,就得到一个n+1的表示法,即n+1的表示法中a1=1的表示法种数等于n的表示法种数,
所以 f(n+1)-f(n)表示的是n+1的表示法中a1≠1的表示法数.
即 f(n+1)-f(n)≥1.
(Ⅲ)结论是f(n+1)≤
1
2[f(n)+f(n+2)].
证明如下:由结论知,只需证 f(n+1)-f(n)≤f(n+2)-f(n+1).
由(Ⅱ)知:f(n+1)-f(n)表示的是n+1的表示法中a1≠1的表示法数,f(n+2)-f(n+1)是n+2的表示法中a1≠1的表示法数.
考虑到n+1≥2,把一个a1≠1的n+1的表示法中的ap加上1,就可变为一个a1≠1的n+2的表示法,这样就构造了从a1≠1的n+1的表示法到a1≠1的n+2的表示法的一个对应,所以有f(n+1)-f(n)≤f(n+2)-f(n+1).
点评:
本题考点: 数列与不等式的综合;数列的函数特性.
考点点评: 本题考查新定义,考查学生对新情境问题的理解,考查学生分析解决问题的能力,属于难题.
1年前
1年前1个回答
你能帮帮他们吗