如图,A,B分别为X轴和Y轴正半轴上的点,OA=8,OB=6,直线BC平分∠ABO,交X轴于点C,P为BC上移动点.

嗯,这题不能用角平分线定理做.因为（3）的结论就是角平分线定理.
（1）
过P作PE⊥AB,交AB于E,过P作PF⊥OB,交OB于F
∵OA=8 OB=6 ∠AOB=90°
∴AB=10
∵∠CBO=∠ABC
∴PF=PE
S1:S2=AB:OB=10:6=5:3
(2)
同理,△ACP和△COP的面积比也为5:3
则△ABC和△COB的面积比为5:3
又两三角形同高
AC:OC=5:3
OC=3
BC过(0,6),(3,0)两点,设直线方程为：
y=kx+b
x=0,y=6
x=3,y=0代入
b=6
k=-2
BC方程：y=-2x+6
(3)
OC:CA=3:5

(1)从p点分别向AB和BO做垂线，分别为PD何PE,因为角PBO等于角PBA，又因为BP=BP，根据角边角定理，则PD=PE,S1=1/2*OB*PE,S2=1/2*AB*PD
所以s1:s2=OB:AB=3:5
(2)B点坐标为（0，6）
tanABO=8/6=2tanOBC/(1-tanOBC*tanOBC)
所以tanOBC=1/2或tanOBC=-2（舍去...