（2006•四川）已知函数f(x)＝x2+2x+alnx(x＞0)，f（x）的导函数是f′（x）．对任意两个不相等的正数
（2006•四川）已知函数f(x)＝x2+
+alnx(x＞0)，f（x）的导函数是f′（x）．对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：
（Ⅰ）当a≤0时，
＞f(
)；
（Ⅱ）当a≤4时，|f′（x1）-f′（x2）|＞|x1-x2|．
| 2 |
| x |
（Ⅰ）当a≤0时，
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
（Ⅱ）当a≤4时，|f′（x1）-f′（x2）|＞|x1-x2|．
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解题思路：（1）将x1，x2代入整理，再由基本不等式可证．
（2）先对函数f（x）进行求导，将x1，x2代入整理变形，转化为证明对任意两个不相等的正数x1，x2，有2+
−
＞1恒成立，从而得证．
（2）先对函数f（x）进行求导，将x1，x2代入整理变形，转化为证明对任意两个不相等的正数x1，x2，有2+
| 2(x1+x2) |
| x12x22 |
| a |
| x1x2 |
证明：（Ⅰ）由f(x)＝x2+
2
x+alnx
得
f(x1)+f(x2)
2＝
1
2(x12+x22)+(
1
x1+
1
x2)+
a
2(lnx1+lnx2)=
1
2(x12+x22)+
x1+x2
x1x2+aln
x1x2f(
x1+x2
2)＝(
x1+x2
2)2+
4
x1+x2+aln
x1+x2
2
而
1
2(x12+x22)＞
1
4[(x12+x22)+2x1x2]2＝(
x1+x2
2)2①
又（x1+x2）2=（x12+x22）+2x1x2＞4x1x2
∴
点评：
本题考点： 导数的运算；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式．
考点点评： 本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力．
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