已知函数f(x)＝x2+2x+alnx，(a∈R)

解题思路：（1）将a=-4代入函数的解析式，先求函数的定义域，求出函数的导函数，分析导函数符号在不同区间上的取值，根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系可得结论；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥

1−x4

x

在[1，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=

1−x4

x

并求出其最小值，可得实数a的取值范围；
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2的最小值是−

5

2

，由此构造关于a的方程，解方程求出a值，可得f（x）的解析式．

（1）当a=-4时，f(x)＝x2+
2
x−4lnx，（x＞0）
f′(x)＝2x −
2
x2−
4
x=
2x3−4x−2
x2=
2(x2−x−1)(x+1)
x2
令f′（x）=0，则x=
1+
5
2
∵x∈（0，
1+
5
2）时，f′（x）＜0，∵当x∈（
1+
5
2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，
1+
5
2）为函数f(x)＝x2+
2
x−4lnx的单调递减区间，
∴（
1+
5
2，+∞）为函数f(x)＝x2+
2
x−4lnx的单调递增区间；
（2）∵f′（x）=
2x3+ax−2
x2
若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即2x³+ax-2≥0在[1，+∞）上恒成立
即a≥
1−x4
x在[1，+∞）上恒成立
令h（x）=
1−x4
x，则h′（x）=
−3x4−1
x2＜0恒成立
故h（x）=
1−x4
x在[1，+∞）上单调递减
当x=1时，h（x）取最大值0
故a≥0，即实数a的取值范围为[0，+∞）
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2
则g′（x）=6x²+a，
当a≥0时，g′（x）≥0恒成立
此时g（x）在定义域（0，+∞）上无最小值
当a＜0时，令g′（x）=6x²+a=0
则x=
−
a
6
∵x∈（0，
−
a
6）时，f′（x）＜0，∵当x∈（
−
a
6，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，
−
a
6）为函数g（x）的单调递减区间，
∴（
−
a
6，+∞）为函数g（x）的单调递增区间；
当x=
−
a
6时，g（x）的最小值g（
−
a
6）=2
−
a
63+a
−
a
6−2=−
5
2，
解得a=-[3/2]
∴f(x)＝x2+
2
x−
3
2lnx

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数解析式的求解及常用方法，其中熟练掌握导函数符号与原函数的单调性之间的关系，并又此分析函数的单调区间和极值点是解答的关键．