已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）是否存在常数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m，n的值；如不存在，说明理由．
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）是否存在常数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m，n的值；如不存在，说明理由．
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解题思路：（Ⅰ）利用条件f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，建立方程组，求f（x）的解析式（Ⅱ）利用二次函数的单调性和值域之间的关系建立，方程关系．
（Ⅰ）由题设，方程f （x）=x有等根，即ax2+（b-1）x=0有等根，
∴△=0⇒b=1．（2分）
又f （2）=0，
∴4a+2b=0，∴a=-[1/2]．（4分）
故f （x）=-[1/2]x2+x．（5分）
（Ⅱ）∵f （x）=-[1/2]x2+x=-[1/2]（x-1）2+[1/2]≤[1/2]，
∴2n≤[1/2]，即 n≤[1/4]．（8分）
而当n≤[1/4]时，f （x）在[m，n]上为增函数，
设满足条件的m，n存在，则
f(m)＝2m
f(n)＝2n即
−
1
4m2+m＝2m
−
1
4n2+n＝2n.，
又m＜n≤[1/4]，由上可解得 m=-4，n=0．
即符合条件的m，n存在，其值为m=-4，n=0．（13分）
点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．
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