Q为三角形ABC内心,证对任一点P均有a*PA+b*PB+c*PC=a*QA*QA+b*QB*QB+c*QC*QC+(a

LZ题写错啦~左右次数都不等……应该是∑a|PA|²=∑a|QA|²+|PQ|²∑a.
∑代表对a,b,c及A,B,C轮换求和.
本题用向量法比较简单,以下写的PA,PB等都是向量.
首先证明引理：∑aQA=0.这是内心的向量表达式.
在三角形ABC中,延长AQ交BC于D.
由内角平分线性质,|BD|/|CD|=c/b.
由定比分点公式,(b+c)QD=bQB+cQC……(*).
又由内角平分线性质,|QD|/|QA|=|BD|/c=|CD|/b=(|BD|+|CD|)/(b+c)=a/(b+c).
所以QD= -[a/(b+c)]QA.
带入(*)式即得引理!
下面证明原题.
|PA|²-|QA|²=(PA-QA)(PA+QA)=PQ(PQ+2QA)=|PQ|²+2PQ*QA.
所以∑a(|PA|²-|QA|²)=∑a|PQ|²+2PQ*∑aQA=|PQ|²∑a,即为原式!