已知函数f（x）=ax-21nx，a∈R

解题思路：（I）由题意对函数求导，然后解f′（x）=0方程，得到x=2，将（0，+∞）分为二个区间，最后通过列表得出导数在这二个区间的符号，讨论出函数的单调性，即可得出函数的极值．
（II）先求导数fˊ（x），求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数f（x）的单调区间以及函数的极值，fˊ（x）＞0的区间是增区间，fˊ（x）＜0的区间是减区间．
（III）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x）=ax−2lnx−

a+2e

x

，求导：
F'（x）=a−

2

x

+

a+2e

x2

＝

ax2−2x+a+2e

x2

＝

ax2+a+2(e−x)

x2

＞0，得出F（x）_max=F（e）．
依题意需F（e）＞0，从而求得a的取值范围．

（I）f′(x)＝1−
2
x，x＞0．令f'（x）=0，得x=2
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：

x （0，2） 2 （2，+∞）
f'（x） - 0 +
f（x） 单调递减 极小值 单调递增∴当x=2时，f（x）取得极小值f（2）=2-2ln2．
（Ⅱ）a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减函数；a＞0时，f（x）在（0，[2/a]）上是减函数，
在（[2/a，+∞）上是增函数．
（Ⅲ）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x）=ax−2lnx−
a+2e
x]，
F'（x）=a−
2
x+
a+2e
x2＝
ax2−2x+a+2e
x2＝
ax2+a+2(e−x)
x2＞0，
所以F（x）为增函数，F（x）_max=F（e）．
依题意需F（e）＞0，解得a＞
4e
e2−1．所以a的取值范围是(
4e
e2−1，+∞)．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．