以三角形ABC的两边AB、AC向外做正方形ABEF、ACGH,AD是边ABC上的高,其反向延长线交HF于点K,求证AK=

证明：如图
过F作FN⊥CB,交CB延长线于N,则FN//AD
延长HA交FN于M,
作AP⊥FN,交FN于P,则∠PAD=90°
∵ ∠FAP+∠PAB=90°,∠BAD+∠PAB=90°
∴ ∠FAP=∠BAD
又∵正方形ABEF, 则AB=AF
∴ RtΔABD≌RtΔAPF（AAS）
∴AD=AP
∵∠DAC+∠MAD=90 （ACGH是正方形）
∠PAM+∠MAD=90 （∵FN//AD,AP⊥FN∴AP⊥AD）
∴∠DAC=∠PAM
∴Rt△APM≌Rt△ADC（ASA）
∴AC=AM
再∴AM=AH（ACGH是正方形,AC=AH）
因此 A是HM的中点
又∵DK‖FN 即AK‖FM
∴AK是三角形FHM的中位线
即AK=1／2FM
∵∠CAB+∠BAM=90 ∠FAM+∠BAM=90
∴∠CAB=∠FAM
又∵AB=AF,AC=AM
∴△ABC≌△AFM
∴BC=FM
∴BC=2AK(AK=1／2FM）
即AK=BC/2