一个拓扑问题：设X为拓扑空间,Y是X的子空间,怎么证明Y的无处稠密子集也是X的无处稠密子集?

一个拓扑问题：设X为拓扑空间,Y是X的子空间,怎么证明Y的无处稠密子集也是X的无处稠密子集?
一个集合A是无处稠密集的含义是A的闭包的内部是空集.这里子空间Y的无处稠密子集是相对Y而言的.
敢说话那条狗 1年前 已收到1个回答 举报
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supertoy 幼苗

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注意Y的无处稠密子集也是X的无处稠密子集A在X中的闭包与内部,在Y中的闭包,内部之间的关系即可.

1年前 追问

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敢说话那条狗 举报

有式子和比较具体的证明过程就好了。

举报 supertoy

这里写不了式子，你查一下熊金城老师的《点集拓扑讲义》

敢说话那条狗 举报

假设Y是X的子空间，A是Y的无处稠密子集，cl(A)是A在X中的闭包，cl''(A)是A相对Y的闭包，那么有 cl''(A)=cl(A)∩Y。而由无处稠密集的定义可知，A是Y的无处稠密子集当且仅当不存在Y的相对非空开子集U‘’ 使得U‘’ 包含于cl''(A)，现在的问题是：怎么通过一些拓扑的基本定理性质证明A是X的无处稠密子集，即证明不存在X的非空开子集U 使得U 包含于cl(A)呢？要使这个结论成立，子空间Y可以是任意非空集吗，还是说Y必须是X的闭子集？
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