（2013•昌平区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C在x轴上，点A，E在y轴上，OB：OC=1：3，AE=7

解题思路：（1）根据题意得出OC=3OB，OE=9OB，进而得出A（0，2），B（-1，0），C（3，0），E（0，9），再利用交点式求出二次函数解析式；（2）根据梯形的两底平行得出AD∥BC，则D、A两点纵坐标相同，得出D点坐标，设直线BD的解析式为y=kx+b，将B、D两点坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BD的解析式；（3）先运用待定系数法求出直线CE的解析式，得到Q点坐标为（2，3）．当直线PQ与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角时，分两种情况进行讨论：①直线PQ与y轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角，设直线PQ与y轴交于点F，过点Q作QM⊥y轴于点M，由∠QFM=∠ABO，根据正切函数的定义得出F点坐标，得到直线FQ的解析式，然后与抛物线的解析式联立，即可求出点P的坐标；②直线PQ与x轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角，过点Q作AB的平行线PQ，交x轴于点G，求出直线GQ的解析式，然后与抛物线的解析式联立，即可求出点P的坐标．

（1）依题意得：∠AOB=∠COE=90°，
∴[OA/OB]=tan∠ABO=2，[OE/OC]=tan∠OCE=3，
∴OA=2OB，OE=3OC．
∵OB：OC=1：3，
∴OC=3OB，
∴OE=9OB．
∵AE=7，
∴9OB-2OB=7，
∴OB=1，OC=3，OA=2，OE=9，
∴A（0，2），B（-1，0），C（3，0），E（0，9）．
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
∴2=-3a，即a=-[2/3]，
∴抛物线解析式为：y=-[2/3]x²+[4/3]x+2；

（2）过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．
∴y_D=y_A=2，
∴D（2，2）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴

0＝−k+b
2＝2k+b，
解得：

k＝
2
3
b＝
2
3，
∴直线BD的解析式为y=[2/3]x+[2/3]；

（3）易知直线CE的解析式为y=-3x+9，Q（2，3）．
当直线PQ与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角时，分两种情况：
①如图1，设直线PQ与y轴交于点F，∠QFE=∠ABC．过点Q作QM⊥y轴于点M，则∠QME=∠AOB=90°．
∵∠QFM=∠ABO，
∴tan∠QFM=tan∠ABO=2，
∴[QM/MF]=2，
∵Q（2，3），
∴MF=[1/2]QM=1，MO=3，
∴F（0，2）与A点重合，即P₁（0，2）．
经验证，P₁（0，2）在抛物线y=-[2/3]x²+[4/3]x+2上．
易求得，直线FQ的解析式为y=[1/2]x+2，
由

y＝
1
2x+2
y＝−
2
3x2+
4
3x+2，解得

x1＝0
y1＝2，

x2＝
5
4
y2＝
21
8，
∴点P₂的坐标为（[5/4]，[21/8]）；
②如图2，过点Q作AB的平行线PQ，交x轴于点G，∠QGC=∠ABC．
易求直线AB的解析式为y=2x+2，则直线GQ的解析式为y=2x-1．
由

y＝2x−1
y＝−
2
3x2+
4
3x+2，解得

x1＝
−1+
19
2
y1＝−2+
19，

x2＝
−1−
19
2
y2＝−2−
19，
∴点P₃的坐标为（
−1+
19
2，-2+
19），点P₄的坐标为（
−1−
19
2，-2-
19）；
综上所述，满足条件的点P的坐标为
P₁（0，2），P₂（[5/4]，[21/8]），P₃（
−1+
19
2，-2+
19），P₄（
−1−
19
2，-2-
19）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，锐角三角函数的定义，二次函数的性质，两函数交点坐标的求法，等腰梯形的性质，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、方程思想及分类讨论是解题的关键．