已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值，且函数y=f（x）的图象经过点（1，0）．

解题思路：（1）先求函数f（x）的导函数f′（x），依题意f′（0）=0．f′（2）=0，f（1）=0，列方程即可解得a、b、c的值
（2）利用导数的几何意义，可证明函数f（x）的图象上任意两点连线的斜率不可能为-4，即可说明两直线间的位置关系
（3）先利用导数研究函数f（t）在[-2，-2]上的单调性，从而求得函数f（t）的最大值，将命题转化为g（x）≥2对x∈[-2，2]恒成立，利用二次函数的图象性质求得m的范围

（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=0和x=2处取得极值
∴

f′(0)＝0
f′(2)＝0即

b＝0
3×4+4a+b＝0
∴b=0，a=-3
又∵f（1）=0，∴1-3+c=0
故c=2，从而f（x）=x³-3x²+2
（2）直线AB和直线4x+y-3=0总相交．
∵f'（x）=3x²-6x=3（x-1）²-3≥-3，由导数的几何意义可知，直线AB的斜率k≥-3，
而直线4x+y-3=0的斜率为-4，
所以两条直线相交．
（3）∵f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴f（x）在（-2，0]递增，在（0，2）递减，
∴f（x）在x=0处有最大值2，
所以命题转化为g（x）≥2对x∈[-2，2]恒成立，即x²+mx+4≥0对x∈[-2，2]恒成立，
设h（x）=x²+mx+4则有

−
m
2＜−2
h(−2)＝−2m+8≥0或

−2≤−

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值．

考点点评： 本题综合考查了导数在函数单调性、极值、最值中的重要应用，导数的几何意义，不等式恒成立问题的解法