（选修4-1：几何证明选讲）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，点D为劣弧.AB的中点．
（选修4-1：几何证明选讲）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，点D为劣弧. |
| AB |
（1）求证：四边形AOBD是菱形；
（2）延长线段BO至点P，交⊙O于另一点C，且BP=3OB，求证：AP是⊙O的切线．
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证明：（1）连接OD．
∵∠AOB=120°，点D为劣弧
AB的中点，
∴∠AOD=∠DOB=60°．
∵OA=OD=OB，
∴△AOD、△BOD都是等边三角形，
∴OA=OB=BD=AD，
∴四边形AOBD是菱形．
（2）连接AC．
∵BP=3OB，OB=OC，∴PC=CO．
∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．
又OA=OC，∴△AOC是等边三角形，AC=OC．
∴AC=[1/2]PO．∴∠PAO=90°．∴OA⊥PA，
∴AP是⊙O的切线．
∵∠AOB=120°，点D为劣弧
AB的中点，
∴∠AOD=∠DOB=60°．
∵OA=OD=OB，
∴△AOD、△BOD都是等边三角形，
∴OA=OB=BD=AD，
∴四边形AOBD是菱形．
（2）连接AC．
∵BP=3OB，OB=OC，∴PC=CO．
∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．
又OA=OC，∴△AOC是等边三角形，AC=OC．
∴AC=[1/2]PO．∴∠PAO=90°．∴OA⊥PA，
∴AP是⊙O的切线．
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