证明：若n阶矩阵A与B可交换,则A与B的任意多项式f(A)与f(B)也可交换

为了证明这个命题,只需要证明A^k与B^m次方可以交换就可以了.
因为A与B的任意多项式f(A)与f(B)相乘展开的每一项都是A^k*B^m的形式.
由于A与B可交换,AB=BA,从而A^2*B=AAB=ABA=BAA=B*A^2,这就证明了A^2与B可以交换.类似的,用数学归纳法,就可以证明A^k与B可以交换.那么,A^k*B^m就可以通过以上结论将每一个B交换到A^k之前,这就证明了A^k与B^m次方可以交换.
从而,f(A)与f(B)相乘展开的每一项都是可以交换的,这就证明了命题.