在平面直角坐标系中,已知抛物线y=（-1/2）x^2+bx+c(b,c为常数)的顶点P,等腰三角形ABC的定点A在的坐标

在平面直角坐标系中,已知抛物线y=（-1/2）x^2+bx+c(b,c为常数)的顶点P,等腰三角形ABC的定点A在的坐标为（0.-1）,C点的坐标为（4,3）.直角顶点B在第四象限.
（1）.如图,若该抛物线经过A,B两点,求该抛物线的函数表达式；
（2）.平移（1）中的抛物线,使顶点P的直线AC 上滑动,且与AC交与另一点Q.
i)若点M在直线AC下方,且为平移前（1）中的抛物线上的点,但以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所以符合条件的M点的坐标；
ii)取BC的中点N,连接NP,BQ.试探究PQ/(NP+BQ)是否存在最大值?若存在,求出该最大值；若不存在,请说明理由.