二重积分区域变换：从极坐标到直角坐标
在二重积分计算中，积分区域在极坐标与直角坐标之间的相互转换是核心技能。标题中提出的问题，本质上是将一个由极坐标不等式描述的区域，转化为用直角坐标不等式描述的等价区域。典型的极坐标区域描述可能为：D = {(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ π/4, 0 ≤ r ≤ 1/cosθ}。我们的目标，就是找出其在直角坐标系下的对应形式。
变换的关键：理解几何意义与坐标关系
变换的核心在于利用直角坐标(x, y)与极坐标(r, θ)的基本关系：x = r cosθ, y = r sinθ。对于区域D = {(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ π/4, 0 ≤ r ≤ 1/cosθ}，首先分析其几何意义。角度θ从0到π/4，意味着区域位于第一象限，且被射线y=0（x轴）和射线y=x（θ=π/4）所夹。再看半径r的上限：r ≤ 1/cosθ。将等式r = 1/cosθ两边乘以cosθ，得到r cosθ = 1，即x = 1。这意味着，对于区域内的任意点，其x坐标不超过1。同时，由于r ≥ 0且θ在0到π/4之间，y = r sinθ ≥ 0，并且y = r sinθ ≤ r cosθ = x（因为tanθ ≤ 1）。
综合以上分析，在直角坐标系下，点(x, y)必须同时满足：由x = r cosθ ≥ 0且r有上限，可得0 ≤ x ≤ 1；由y ≥ 0且y ≤ x（来自θ的范围限制），可得0 ≤ y ≤ x。因此，最终的直角坐标描述为：D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}。这个区域是一个直角三角形，直角顶点在原点，两条直角边分别在x轴和直线y=x上，斜边在直线x=1上。通过这样的步骤，我们便完成了从极坐标形式到直角坐标形式的逻辑推导。