X余弦值的四次方的不定积分求解
求解不定积分 ∫cos⁴x dx 是微积分中的一个经典问题，它需要综合运用三角恒等式和基本的积分技巧。直接积分cos⁴x是困难的，因此我们首先需要利用降幂公式对其进行化简。根据三角恒等式 cos²θ = (1 + cos2θ)/2，我们可以将cos⁴x表示为 (cos²x)² = [(1 + cos2x)/2]² = 1/4 (1 + 2cos2x + cos²2x)。至此，积分被转化为 ∫ (1/4 + (1/2)cos2x + 1/4 cos²2x) dx。对于其中的cos²2x项，我们需要再次应用降幂公式：cos²2x = (1 + cos4x)/2。将其代入并整理，最终得到被积函数的简化形式：cos⁴x = 3/8 + 1/2 cos2x + 1/8 cos4x。
积分过程与最终结果
经过上述代数变换，原积分∫cos⁴x dx 转化为对三项简单函数的积分之和：∫ (3/8) dx + ∫ (1/2)cos2x dx + ∫ (1/8)cos4x dx。这三项积分都可以直接求出。第一项积分是(3/8)x。对于后两项涉及余弦的积分，需要注意链式法则的逆转，即∫cos(kx) dx = (1/k) sin(kx) + C。因此，第二项积分结果为 (1/2)*(1/2)sin2x = (1/4)sin2x，第三项积分结果为 (1/8)*(1/4)sin4x = (1/32)sin4x。最后，将所有结果合并，并加上积分常数C，便得到最终答案：∫cos⁴x dx = (3/8)x + (1/4)sin2x + (1/32)sin4x + C。
这个求解过程清晰地展示了处理三角函数高次幂积分的一般方法：即反复使用降幂公式，将高次幂转化为一次幂的线性组合，从而使得积分易于进行。掌握这一方法，对于求解sinⁿx或cosⁿx（n为自然数）形式的不定积分至关重要。