已知函数f（x）=1−a+lnxx，a∈R

解题思路：（1）先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，再根据导函数的正负判断函数的单调性，进而确定极值．
（2）将问题转化为

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立的问题，然后求函数g(x)＝

lnx

x

(x＞0)．的最大值，令k大于这个最大值即可．
（3）先判断函数f（x）在（0，e）上的单调性，进而得到x₁，x₂的关系得证．

（Ⅰ）∵f/(x)＝
a−lnx
x2，令f′（x）=0得x=e^a
当x∈（0，e^a），f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（e^a，+∞），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
可知f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a
（Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需
lnx
x＜k在（0，+∞）上恒成立，
设g(x)＝
lnx
x(x＞0)．由（Ⅰ）知，g(x)在x＝e处取最大值
1
e，∴k＞
1
e
（Ⅲ）∵e＞x₁+x₂＞x₁＞0，由上可知f(x)＝
lnx
x在（0，e）上单调递增，
∴
ln(x1+x2)
x1+x2＞
lnx1
x1即
x1ln(x1+x2)
x1+x2＞lnx1①，
同理
x2ln(x1+x2)
x1+x2＞lnx2②
两式相加得ln（x₁+x₂）＞lnx₁+lnx₂=lnx₁x₂
∴x₁+x₂＞x₁x₂

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．导数是高考的热点问题，每年必考，要给予重视．