设函数f（x）=x3+2bx2+cx-2的图象与x轴相交于一点P（t，0），且在点P（t，0）处的切线方程是y=5x-1

（I）设切点P（t.0）代入直线方程y=5x-10，得P （2，0），
且有f（2）=0，即4b+c+3=0…①…（2分）
又f'（x）=3x²+4bx+c，由已f'（2）=12+8b+c=5得8b+c+7=0 …②
联立①②，解得b=-1，c=1．
所以函数的解析式f（x）=x³-2x²+x-2…（4分）
（II）（1）因为g(x)＝x3−2x2+x−2+
1
3mx，
g′(x)＝3x2−4x+1+
1
3m＝0，
当函数有极值时，则△≥0，方3x2−4x+1+
1
3m＝0有实数解，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．…（8分）
①当m=1时，g'（x）=0有实数x=[2/3]，在x=[2/3]的左右两侧均g'（x）＞0，故函数g（x）无极值
②当m＜1时，g'（x）=0有两个实数根x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
g'（x），g（x）情况如下表：

x （-∞，x₁） x₁ （x₁，x₂） x₂ （x₂，+∞）
g'（x） + 0 - 0 +
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以在m∈（-∞，1）时，函数g（x）有极值；…（10分）
（2）由（1）得m∈（-∞，1）且x₁+x₂=[4/3]，x1x2＝
3+m
9．
x12+x22＝φ(m)＝(x1+x2)2−2x1x2＝
16
9−
2(3+m)
9＝
10−m
9…（12分）
∵x1x2＝
3+m
9．≥0，m∈（-∞，1）
∴φ(m)＝
10−m
9，-3≤m＜1，故φ（m）有最大值为φ（-3）=[13/9]…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，要使熟练掌握导数和函数的单调性和极值的关系，运算量较大，综合性较强．