设x2+mx+n（mn为整数）既使x4-3x2+9的因式,也是3x4-17x2+24x+3的一个因式,当x=1时,求x2

因为x^2+mx+n是x^4-3x^2+9的因式
所以x^4-3x^2+9=A(x^2+mx+n).1
同理
3x^4-17x^2+24x+3=B(x^2+mx+n).2
2式-1式*3得
3x^4-17x^2+24x+3-3x^4+9x^2-27=(B-3A)(x^2+mx+n)
-8x^2+24x-24=(B-3A)(x^2+mx+n)
则B-3A=(-8x^2+24x-24)/(x^2+mx+n)
因为A和B是整式
所以B-3A是整式
B-3A是两个二次式的商,所以是0次的,即是常数
而且因为B-3A是整式
所以是整数
x^2系数的商是-8
所以B-3A=-8
-8x^2+24x-24=-8(x^2+mx+n)
x^2+mx+n=x^2-3x+3
当x=1时,
x^2+mx+n=x^2-3x+3
=1-3+3
=1
或
x^4-3x^2+9
=x^4+6x^2+9-9x^2
=(x^2+3)^2-9x^2
=(x^2+3x+3)(x^2-3x+3)
3x^4-17x^2+24x+3
=3x^4-9x^2+27-8x^2+24x-24
=3(x^4-3x^2+9)-8(x^2-3x+3)
=3[(x^4+6x^2+9)-9x^2]-8(x^2-3x+3)
=3[(x^2+3)^2-9x^2]-8(x^2-3x+3)
=3(x^2+3x+3)(x^2-3x+3)-8(x^2-3x+3)
=(x^2-3x+3)[3(x^2+3x+3)-8]
=(x^2-3x+3)(3x^2+9x+9-8)
=(x^2-3x+3)(3x^2+9x+1)
所以m=-3,n=3
x^2+mx+n=x^2-3x+3
当x=1时,
x^2-3x+3
=1-3+3
=1